الجمعية الكونية السورية

 

تأسست في عام 1980

اتصل بنا

من نحن

المقالات

المحاضرات

الأخبار العلمية

المنتدى

برنامج الأفلام

برنامج المحاضرات

الصفحة الرئيسية

مسائل رياضية

كتب علمية

قواميس وفهارس

نادي الصور

أحوال الطقس

الخارطة الفلكية

أرشيف المحاضرات

 
               

 

 

لماذا الرياضيات

أديب الخوري

" الرياضيات هي الموضوع الذي لا نعرف فيه عما نتحدث،

 ولا نعرف إن كان ما نقوله صحيحاً أم لا".

برتراند راسل.

 

ذلكم هو التعريف الوجيز للرياضيات الذي قدمه أحد كبار علمائها وأحد كبار فلاسفة العلم،  برتراند راسل. وإذا كان هذا التعريف يوحي بشيء من التواضع؛ فإنه على العكس تماماً يمثل أقسى ما يمكن أن يدعيه الرياضيون من الفخر، كما أنه يشير ضمنياً إلى الثقة المطلقة بالرياضيات رغم ما فيها من اتساع وتجريد وصعوبة، بل ومن تناقضات لا تخلو منها، ظاهرياً على الأقل. فلئن تستطيع الرياضيات متابعة التقدم والنمو، سابقة جميع العلوم الأخرى، كي تقدم لها الخلفية اللازمة لنموها. ولئن يتزايد استخدام الرياضيات في شتّى الميادين، بشكل أكثر فأكثر تأثيراً، كل ذلك رغم ما فيها من تجريد، يكاد يجعلنا نجزم بعدم فائدتها….. ورغم أننا إذ نتحدث في الرياضيات البحتة، فإننا نتكلم بالفعل في موضوع لا نعرف فيه عمّا نتحدث، ولا نعرف إن كان ما نقوله صحيحاً أم لا… إن كل ذلك ليؤكد أهمية وعظمة هذا الفرع من فروع الفكر الإنساني. فما هي الرياضيات بادئ ذي بدء؟ .

 

يحتاج إدراك ما تنطوي عليه كلمة "رياضيات" إلى دراسة مقدار غير ضئيل منها، وذلك شرط لازم لكنه غير كاف، إذ يلزم أيضاً وجود بصيرة نافذة وحدس عميق يتمثل السر الكامن وراء الدراسات المجردة، ذلك السر الذي يعطي الرياضيات سحرها وجلالها، كما يلزم موهبة من نوع خاص تنمو مع نمو الدراسة الرياضية وتصقل بتقدمها. ومع ذلك، يمكننا تجاوز الأمر عن طريق بعض المقاربات البسيطة وترك المفهوم يوضح نفسه بنفسه من خلال سياق الحديث.

 

يجري التمييز عادة بين رياضيات بحتة ورياضيات تطبيقية وتشكل الأولى موضوع حديثنا. وهي تلك الفروع من الرياضيات المُغرقة في التجريد والتي تظهر للوهلة الأولى بعيدة كل البعد عن التطبيق والإفادة على الصعيد العملي، فهي ضرب من الفن الفكري الرفيع الذي يطوره أصحابه بدافع واحد، هو تنمية بناءه أكثر فأكثر، سواء كان ذلك فائدة عملية أم لم يكن، لكننا في الحقيقة، لا نستطيع أن نفصل أبداً بين الرياضيات المجردة والرياضيات التطبيقية، فهذا العلم الفن، إنما يبدأ دوماً أفكاراً مجردة وبنىً غريبة خاصة تؤلف عوالم قائمة بذاتها، تبدو بعيدة جداً عن عالم الواقع، لكن الفيزيائيين والتقانيين والعلماء الآخرين من مختلف الفروع، سرعان ما يجدون حلولاً لمشاكلهم، في هذه العوالم المجردة التي غالباً ما يكون واضعوها قد أشادوها لأغراض مستقلة عن أي وظيفة عملية… ومع ذلك يشدد الرياضيون أنفسهم، على أن الرياضيات الحقة هي تلك التي لا تُعنى بأي تطبيق، بل تسعى إلى إكمال ذاتها كبنيان خاص، بل كعالم مستقل يستطيع الفكر فيه أن يجد مجالاً رحباً لإمكانياته الحقيقية إن الرياضيات من هذا المنظور فن من الفنون، بل هي إحدى أرقى الفنون ذلك أنها أصعبها. هذا ما يراه برتراند راسل أيضاً حين يقول: "إننا لو استعرضنا الرياضيات استعراضاً صحيحاً، لما وجدنا فيها الحقيقة فحسب، بل وجدنا فيها جمالاً سامياً جمال البرود والقسوة والصرامة هو جمال فيه الصفاء والسناء، والمقدرة على بلوغ الكمال، الذي لا يتاح إلاّ لأعظم الفنون".

 

ومع ذلك يطرح الجميع السؤال: هل يكفي ذلك كي يكون للرياضيات كل تلك الأهمية؟ ومن جهة أخرى: لماذا وكيف يكون لهذه البنى المغرقة في التجريد هذه الضرورة، وما هي الكيفية التي يعمل بها هذا العلم في دفع العلوم الأخرى وإتاحة الفرصة لها للتقدم باستمرار؟…. لماذا يتوجب على طلبة المدارس-أيضاً- أن يتعرفوا على البنى الجبرية ونظرية المجموعات وعلى جبر بول وأن يدرسوا التوابع الأسية واللغاريتمية وأن يطّلعوا على الفراغ الشعاعي والتطبيقات الخطية والأعداد العقدية. وغير ذلك من الأسس الأولية للرياضيات، دون أن يعرفوا أو أن يكون لهم الحق بالتساؤل، عن فائدة هذه الدراسات ودورها ومدى فائدتها وضرورتها، بل دون أن يفيدوا-ظاهرياً على الأقل- من هذه الدراسات، في حياتهم اللاحقة.

قد يجد بعض هؤلاء الطلاب وأعني منهم الذين يتابعون دراسات علمية معينة، بعضاً من الجواب على ذلك السؤال الكبير: "لماذا الرياضيات". لكن الإجابة الكاملة نادراً ما تصل حتى إلى أولئك الذين يتخذون الرياضيات نفسها مادة لدراساتهم الجامعية والعليا أو وسيلة لكسب رزقهم! ورغم ذلك تستمر الرياضيات بالتدخل في حياة الناس وعلى جميع المستويات ويزداد دخولها في المناهج الجامعية إلى حد أن لا تخلو منها كليات الآداب!

 

تتعامل الرياضيات مع كائنات مجردة، مع بنات أفكار وبنات خيال. وليس مع أمور ملموسة أو مفاهيم طبيعية كما هو الحال في العلوم الأخرى ولعل هذا هو السبب الأساسي فيما يبدو ظاهرياً من بعد الرياضيات عن الإسهام المباشر في عملية معرفة الطبيعة. إلا من خلال العلوم الأخرى. ولكن… لنتوقف قليلاً هنا، عند كلمة "المعرفة" .

منذ البدء سعى الإنسان لوعي وجوده ولمعرفة الحقيقة التي تنتظم هذا الوجود. تروي الأسطورة أن الإنسان الأول قد تناول من الشجرة المحرّمة شجرة المعرفة، فسقط! كذا كانت المعرفة علة الوجود الإنساني على كوكب الأرض… أفلا تكون غاية هذا الوجود والقصد منه أيضاً…؟ إن الإنسان لمّا يكف لحظة منذ ذلك الحين عن السعي وراء المعرفة، فهو يبحث دائباً مستقصياً كل الأشياء ممعناً في تحليل كل ما حوله ذلك أن شعوراً عميقاً، واعياً حيناً وخافياً في أغلب الأحيان، يغذي فيه نزعة البحث، ويؤكد له العقيدة بوجود حقيقة أولية تنتظم الكون بمجمله وبما فيه الوجود الإنساني، حقيقة لا يستطيع المرء التنكر لها. إذ يعني إنكارها إفراغاً للوجود الإنساني من معناه ومن رسالته، كذا تكون حياة الإنسان رحلةً في طريق المعرفة وتحقيقاً يسعى لإكمال ذاته في الوصول إليها.

ولكي نكون أكثر وضوحاً في تحديد معاني الكلمات. نشير إلى أن مفهوم الحقيقة ضمن ما ورد لا يعني كمية من المعلومات الصحيحة أو كل المعلومات الصحيحة الممكنة. وهو ليس صيغة أو قانوناً نهائياً يصف العالم بجملته وتفصيله. إذ أن أية معلومة هي معلومة نسبية حكماً وأي نظرية علمية هي نظرية تستطيع الاضطلاع بوصف بعض مظاهر الطبيعة ضمن ظروف وأحوال معينة. في حين نتحدث هنا عن معرفة الحقيقة المطلقة، والتي نعتبر الوصول إليها غاية الوجود الإنساني ورسالته. إن ما نرمي إليه عندما نتحدث عن الحقيقة هو حالة أخرى من الوجود أكثر سمواً. ومعرفة الحقيقة هي بالتحديد سياق الترفع نحو هذه الحالة.

إن المعرفة بهذا المعنى هي فعل تحقيق لا امتلاك، وبمعنى أكثر وضوحاً ودقة نقول إن فعل معرفة الحقيقة هي فعل تفتح ذهني وتالياً نفسي، يتجاوز فيه الإنسان إمكانياته ليصعدها إلى مرتبة أرفع. فللمعرفة كما رآها الشيخ محي الدين ابن عربي "ثلاثة أشكال، أولها ثقافي، وثانيها عاطفي، أما الثالث فيجسد المعرفة الحقة، التي تميز معرفة الحقيقة. وفي الشكل الثالث يمكن للمرء وعي ما هو صواب وحق من خلف حدود الفكر والإحساس".

كذا لا نفرق بعد بين عبارة "فعل معرفة الحقيقة" وعبارة "سيرورة التفتح البشري". هذا الفعل وتلك السيرورة الذين سلك فيهما الإنسان طرقاً شتى من فنون وعلوم وفلسفات وأديان، ومن طرائق روحية ومدارس سرانية وعلوم نفسية وطرق أخرى أكثر من أن تحصى…. وإذا كنا لا ننكر أهمية جميع أوجه النشاط هذه وتكاملها في توجيه الإنسان نحو تحقيق ذاته فإننا نشدد على دور العلم، وأعني العلم البحت، كونه الطريق الأكثر جمعية في قيادة هذه السيرورة على المستوى العالمي. إن العلم وفي أساسه الرياضيات هو أهم الطرق التي توجهنا إلى إدراك الحقيقة المنشودة. وكما قال مرة العالم الكبير آلبرت اينشتاين:" لا يتردد العلم أبداً في معارضة المنطق العام الفطري، فالذي يخشاه هو التضارب بين المفاهيم السائدة والمعطيات الجديدة. وإن حدث هذا التضارب، فإن العلم سرعان ما يسحق الفرضيات القائمة ليصعد معرفتنا إلى سوية أعلى" وواقع الأمر أننا إذا راجعنا بتأنٍ بعض صفحات تاريخ العلم، وجدنا أن كل اكتشاف علمي هو في الظاهر إضافة معلومات جديدة، لكنه في الجوهر قفزة نوعية في سلم معرفتنا، مع كل ما يعني ذلك من تغير في بنيتنا نفسها وعلى مستويات شتّى.

إن اكتشاف لامركزية الأرض على سبيل المثال- يمكن أن يعني في العمق نقلة نوعية للإنسانية نحو تجاوز أنانية جمعية، إن جاز التعبير، ونحو فهم أفضل لموقع هذه الإنسانية في الكون، أما الرياضيات، فلا يخفى أنها تقع- وعلى حد سواء- في أساس اختراع غاليليو لمنظاره وفي قلب رقصة الكواكب الأبدية في السماء. وكمثال آخر نرى إذا تأملنا الثورة المعلوماتية التي تعم عالمنا المعاصر. أن هذا التقدم المعلوماتي- الذي ما كان ليتم بدون رياضيات شديدة التعقيد وعالية المستوى، إنما يشير في الجوهر إلى خطوة هامة نحو شعور أكبر بوحدة وعالمية الإنسان وتحقيق أعمق لهما.

لقد  قادتنا الرياضيات عبر تاريخ تطورها الطويل إلى تصور فكري محدد وغير ضبابي لفكرة اللانهاية عبر نظرية المجموعات. وأوضحت لنا مفهومي الحركة والاستمرار عبر حساب التفاضل والتكامل. وحددت لنا معنى الصدفة من خلال نظرية الاحتمالات وأخيراً وليس آخراً يعالج أحدث فروع الرياضيات مفهومي النظام والفوضى ليعطيهما معنىً رياضياً لا لبس فيه وهو الأمر الذي تتصدى له نظرية الشواش. بيد أن تأملاً عميقاً يجعلنا نرى في هذه الأمثلة الوجه الآخر للتطور الرياضي: لقد أعطت دراسة نظريات المجموعات لعقولنا مقدرة أعلى، فأصبح بإمكانها تحليل اللانهاية، وزوّد فهم التحليل الرياضي أدمغتنا بأضواء جديدة يلقيها على مفهوم الحركة. ومنحتنا نظرية الاحتمالات بصيرة نواجه من خلالها إشكالية الصدفة…. ولا يخفى على أحد أن مفاهيم من هذا النمط: اللانهاية-الحركة-الصدفة-النظام والفوضى…الخ. هي مفاهيم مفاتيح في فهمنا للكون والتعرف عليه، ولكن… كيف تفعل الرياضيات ذلك، وبأية طريقة؟.

 

البنية الرياضية:

يصوّر لنا استاذ الرياضيات الاميركي دافيد برغاميني طبيعة تكوين البناء الرياضي؛ باسلوب أدبي مرح فيقول: "إن الرياضيات قد بلغت من التعقيد حداً يجعل صحة نقطة انطلاق ما أو عدم صحتها غير ذي أهمية. بل إن المهم هو أن نحاكم نقطة الانطلاق محاكمة سليمة حتى نخرج منها بنتيجة. ويستطيع الرياضي وفق هذه القاعدة أن يفرض دون تردد أو وجل، أن القمر مصنوع من جبنة خضراء، ثم يلجأ إلى مناقشة مقنعة، مستخدماً سلسلة من نقاط الانطلاق الأخرى حتى يصل إلى نتيجة، يستحث فيها ملاحي الفضاء على حمل البسكويت معهم" وواقع الأمر أن عظمة الرياضيات إنما تكمن في كونها لا تقوم على أسس منطقية بالضرورة. بل أن بعض فروع الرياضيات إنما تبنى على فرضيات تتحدى الخيال والحس السليم والمنطق الفطري أو بالأحرى، تسمو بالخيال وتهذب الحس وترتفع بالمنطق الفطري إلى درجة أعلى. إن كل ما يلزم لإقامة بناء رياضي هو وضع فرضيات نختارها بشكل لا يتعلق بصحتها أو خطئها. ثم الالتزام بعد ذلك بمعالجة الفرضيات الموضوعة واستخلاص نتائج جديدة منها، ضمن قواعد المنطق فتكون جميع هذه النتائج صحيحة ومقبولة وجزءاً من البنية التي نقوم بوضعها بيد أن الغريب في الأمر هو أن جميع فروع الرياضيات وبناها، الموضوعة وفق هذه الطريقة. تلتقي فيما بعد في قواسم مشتركة وتتكامل من جهة أخرى مع بعضها بعضاً لتصور لنا بشكل أكثر فأكثر كمالاً صورة البناء الرياضي للطبيعة بأسرها.

لقد كانت حقيقة وجود بناء رياضي ينتظم الطبيعة أمراً مسلماً به خلال جميع العصور، وقد عبّر عنه افلاطون قديماً حين قال: "ما انفك الإله يمارس الهندسة" القول الذي أعاده بعد ألفي عام الألماني جاكوبي قائلاً:" ما انفك الإله يمارس الحساب" أما جيمس جينز فهو يرى أن "مهندس هذا الكون العظيم قد بدأ يظهر على أنه عالم رياضي بحت!"

ثمة قناعة راسخة، عند كبار العلماء والمفكرين، عبر جميع العصور تؤكد أن الظواهر الطبيعية، بجملتها وتفصيلها، هي انعكاس مادي يقوم وراءه بناء رياضي مجرد يعبّر عنه بالمعادلات والرموز والأعداد والأشكال وكأن العالم المادي مصمم وفق بنية رياضية يشبه بناؤها البنية التي تحدثنا عنها.

إن ديكارت الذي كان يعتبر نفسه فيلسوفاً أكثر منه رياضياً، قد طرح تساؤلاً حول مدى استطاعة الرياضيات، وليدة التفكير البحت للعقل البشري تزويدنا بالمعرفة عن العالم الطبيعي. لو لم تكن هذه الرياضيات نفسها قائمة في جوهر خلق العالم أما غاليليو- وهو نفسه العالم الذي اضطهد لقوله أن الأرض تدور- فهو يرى "أن المبادئ الرياضية هي الأبجدية التي كتب بها الله هذا العالم وبدونها سوف يكون صعباً علينا أن نفهم كلمة واحدة من كتاب الطبيعة".

إن هذا التطابق بين البناء الرياضي والبناء الطبيعي، ليس أمراً  شديد الأهمية فحسب، بل هو بالنسبة للرياضيين مصدر فرح وغبطة، يقول الرياضي ليو كادانوف: "إنها لعمري تجربة لا نظير لها. أن يعي العالم أن ما يجري في دماغه يتناسب تماماً مع ما يجري في الطبيعة. إنها افضل ما يمكن أن يحدث للرياضي ولكم هو رائع أن يمكن ذلك. إن الدهشة تتملكه إذ يكتشف أن بناءً قد أشاد صرحه عبر فكره الخاص يمكن أن يتحقق بالفعل في عالم الواقع؛ أي صدمة كبرى وأي فرح كبير جداً جداً !".

 

كان اكتشاف الهندسات اللااقليدية خلال القرن الماضي أحد أكبر الامتحانات لقدرة الرياضيات على النطق باسم الطبيعة. فقد تحدت هندسة لوباتشفسكي ومن بعدها هندسة ريمان وغيرها من الهندسات…أن تجد  تطبيقاً لها أو إمكانية لإسقاطها في العالم الطبيعي. فقد بدت هندسة لوباتشفسكي بدايةً ضرباً من الشطح الفكري إن لم يكن من الجنون واعتبرت نوعاً من بناء رياضي مجرد لا سبيل للإفادة منه لكن ذلك لم يطل جداً إذ سرعان ما وجدت الهندسات اللااقليدية على كثرة تنوعها وتعددها تطبيقاتها المختلفة، بدءاً من العلوم البيولوجية وانتهاءً بالنظرية النسبية لتثبت لنا مرة أخرى أن عالم المطلق يوازي دوماً عالم الواقع، أو كما قيل في القديم: "كما في السماء كذلك على الأرض".

 

عودة للحديث عن البناء الرياضي ولنأخذ عليه مثالاً معروفاً جداً هو الهندسة المستوية أو كما تسمى في الرياضيات الهندسة الاقليدية وهي نفسها التي تدرَّس لطلاب الصفوف الإعدادية. يتألف البناء الرياضي كما أسلفنا من مجموعة من نقاط الانطلاق سوف نسميها بدءاً من الآن "الموضوعات" وهي في الهندسة المستوية -مثالنا- خمس موضوعات:

              1- من كل نقطتين يمر مستقيم واحد.

              2- يمكن مد أي مستقيم من نهايتيه بالقدر الذي نشاء.

              3- يمكن من أي نقطة إنشاء دائرة نصف قطرها أي طول معطى.

              4- جميع الزوايا القائمة متساوية.

              5- من نقطة غير واقعة على مستقيم يوجد موازٍ واحد لهذا المستقيم.

لنلاحظ أننا استخدمنا في صياغة هذه الموضوعات مفردات تأخذ معنىً خاصاً في علم الهندسة. وتنقسم هذه المصطلحات إلى نوعين، يضم الأول منها الكلمات: مستقيم-نقطة-تقع بين التي تُسمى "مفاهيم أولية" ويضم النوع الثاني كلمات مثل دائرة، زاوية،…الخ وهي كائنات هندسية يمكن تعريفها بواسطة المفاهيم الأولية أو باستخدام مصطلحات سبق تعريفها بدلالة هذه المفاهيم فالدائرة على سبيل المثال هي مجموعة النقط التي يكون البعد الواقع بينها وبين نقطة ثابتة، ثابتاً. أما المفاهيم الأولية فتعتبر واضحة بذاتها وذات مدلول مشترك عند الجميع وتجري انطلاقاً منها صياغة كائنات هندسية جديدة تشكل النوع الثاني من المصطلحات.

تؤلف النظريات (المبرهنات) الجزء الهام من البناء الهندسي. إنها مجموعة من الحقائق، تتعلق بالكائنات الهندسية التي تم تعريفها ونستنتج انطلاقاً من مجموعة الموضوعات الخمس-أو من نظريات أخرى سبق أن استنتجت من هذه الموضوعات- كذا يمكننا أن نبرهن مثلاً أن مجموع زوايا المثلث هو 180ْ وأن قطرا متوازي الأضلاع متناصفان، إلى غير ذلك من الحقائق الهندسية التي يدرسها طلاب المرحلة الإعدادية.

تسمى هذه الطريقة في البناء، الطريقة الموضوعاتية الاستنتاجية وهي الطريقة التي تميز ما يُسمى بالرياضيات الحديثة.  

من الأهمية بمكان أن نشدد هنا على كون الهندسة، هذا البناء الذي تحدثنا عنه- وهو في الواقع بناء أثري يعود لزمن اقليدس- ليس أكثر من لعبة منطقية مجردة لا علاقة لها بالواقع بأي حال من الأحوال. إنها تشبه تماماً لعبة الشطرنج حيث تمثل المفاهيم الأولية احجار (قطع) اللعب وتمثل الموضوعات قواعد اللعبة أما الهندسة نفسها فتمثل جميع التشكيلات الممكنة في لعبة الشطرنج وهي تشكيلات لانهائية العدد نظرياً.

من هذا المنظور يعتبر علم الهندسة أمراً غير ذي أهمية بالنسبة لعالم الفيزياء أو الرياضي التطبيقي ولكن عندما يثبت الأخير تجريبياً أن مستقيماته ونقاطه الواقعية تصفها بدقة كبيرة التجريدات الرياضية الهندسية وعندما يرى أن الموضوعات والنظريات تصف فعلاً سلوك نقطه ومستقيماته وأشكاله الواقعية، عندئذٍ فحسب تتحول الهندسة إلى عالم التطبيق والواقع.

نحو الهندسات اللاقليدية

سوف تبقى الهندسات اللااقليدية إحدى أروع النفائس في متحف الرياضيات وهي تقدم لنا مثالاً جيداً لما أشرنا إليه عن كون صحة نقطة انطلاق ما (أي موضوعة ما) غير ضرورية كي يكون البناء الرياضي سليماً. لقد جاءت هندسة لوباتشفسكي تتويجاً لجهود استمرت أكثر من ألفي عام، بحثاً عن كمال أكبر لهندسة اقليدس، لكنها جاءت في الوقت نفسه، ثورة في تاريخ الرياضيات، بل في تاريخ الفكر البشري، وقفزة كبرى إلى الأمام، لا في الرياضيات وحدها بل أولاً و أخيراً في عقلية عالم الرياضيات وخياله، وبالتالي في نمو القدرة الذهنية للإنسان. يجدر بنا أن نذكر هنا، الانتقادات الكثيرة التي تعرّض لها لوباتشفسكي والنعوت الفظة التي أطلقت عليه، عندما قدّم للمرة الأولى افكاره اللااقليدية. وحتى غاوس أحد أكبر علماء الرياضيات على مر القرون كان يعتبر أن نشر مثل هذه الأفكار لا  يخلو من مجازفة خطيرة.

تختلف موضوعات هندسة لوباتشفسكي عن موضوعات هندسة اقليدس بالأخيرة منها فقط. فبدلاً من موضوعة اقليدس الخامسة:" من نقطة غير واقعة على مستقيم يوجد موازٍ واحد فقط لهذا المستقيم" نجد عند لوباتشفسكي أنه "من نقطة غير واقعة على مستقيم يمكن إنشاء مستقيمين موازيين لهذا المستقيم" إن المقولة الأخيرة مستحيلة من وجهة النظر الحدسية المباشرة. لكن ذلك ليس مهماً أبداً بل المهم في الأمر هو أننا عندما نعمد إلى استنتاج مقولات جديدة [نظريات] انطلاقاً من الموضوعات الخمس للوباتشفسكي فإننا قد نحصل على نظريات ربما تعارض ما نسميه خطأً الحس السليم، لكننا لا نحصل أبداً على مقولات متناقضة فيما بينها! فعلى سبيل المثال يبرهن في هندسة لوباتشفسكي أن العمود المشترك على مستقيمين متوازيين غير ثابت الطول في جميع المواضع وهذه النتيجة التي لا نستطيع أن نتصورها ذهنياً ولا أن نقبلها للوهلة الأولى هي نتيجة منطقية تماماً للموضوعات التي انطلقنا منها. ما هو أكثر أهمية، هو أن هذا البناء الجديد-هندسة لوباتشفسكي- يتكامل مع الهندسة الأقليدية ويقابل بنىً طبيعية لا تتفق معها وهذا ما قصدناه عندما أشرنا إلى أن جميع الفروع الرياضية والبنى الموضوعة وفق الطريقة الموضوعانية الاستنتاجية، تلتقي في قواسم مشتركة وتتكامل فيما بينها لتقدم لنا بشكل أكثر فأكثر كمالاً، صورة البناء الرياضي للطبيعة.

الرياضيات إذاً، وبتبسيط شديد مجموعة من مثل هذه البنى . إنها تبدو للوهلة الأولى مجموعة أبنية مختلفة وغير متجانسة . لكنها في الحقيقة تتطور وتنمو باتجاه تشكيل تأليف متناغم لعلنا نستطيع أن نسميه عالَم الرياضيات . وهذا العالم ليس شيئاُ ثابتاً ومستقِرّاً . بل هو مثل كل عالم آخر حي وديناميكي يتفاعل مع نفسه لينمو أبداً بشكل مستمر . إن عالم الرياضيات هو عالم مطلق كونه عالم من التجريدات أبدعناه نحن أنفسنا، وبنيناه لبنةً لبنة من مفاهيم خاصة انتزعناها من أعماق أفكارنا وكونه في ذات الوقت عالم الظواهر الطبيعية نفسه مع كثير من التهذيب والتشذيب إنه عالم موجود مسبقاً : موجود فينا بدليل أننا نستطيع فهمه وإدراكه وموجود في الطبيعة من حولنا لأننا نراه في كل ظواهرها. وهو مع ذلك عالم مفارق. خارج عنا ومترفع عن عالمنا الطبيعي، الذي ليس في الحقيقة سوى مجموعة من الصور المشوهة له. إن عالم الرياضيات هو عالم نقوم بإبداعه وصياغته بقدر ما نكتشفه وندركه وبهذا القدر أيضاً يصبح فهم الطبيعة اقرب إلينا ويصبح فهم أنفسنا في متناولنا :

كذا تكون الرياضيات هي التصميم أو النموذج الهندسي المجرد للعالم الطبيعي بكل ما فيه، ومن ضمنه الإنسان ويؤكد ذلك في صيغة أخرى العالم الفيزيائي الكبير هايزنبرغ إذ يقول :

"إن الأجزاء الصغرى من المادة –الذرات- هي ليست الكائنات الأساسية كما يقول ديمقرطس بل الكائنات الأساسية هي الصيغ الرياضية ".

يوضح لنا مثال تطور الهندسة وصولاً إلى الهندسات اللاأقليدية كيفية تطور الفكرة الرياضية في مثال هام من تاريخ الرياضيات، لكن المهم في الأمر هو ما تنطوي عليه سيرورة هذا التطور ألا وهو السيرورة الموازية لتفتح الفكر باتجاه استيعاب المفاهيم الجديدة. فلا يختلف اثنان على الإقرار بأن ذهناً يستطيع قبول وفهم وتصور عدداً من المستقيمات المتقاطعة توازي مستقيماً واحداً آخر، وأيضاً تصور العالم الذي تصح فيه هذه الموضوعة، يختلف كثيراً عن الذهن الاقليدي الذي لا يستطيع أن يقبل ما يخالف الموضوعة الخامسة لاقليدس. إن هذه القدرة على تخيل واستيعاب عالم لااقليدي. وبشكل عام القدرات التي يكتسبها عالِم الرياضيات. بحيث يصبح تدريباً بسيطاً للذهن كافياً لنقل هذه الإمكانيات ويمكن القول على وجه العموم أن أي معرفة جديدة للفرد إنما تخص بالأحرى الجنس البشري ككل. فليس هناك معرفة خاصة أو تجربة فكرية خاصة. ولعلنا نستطيع أن نتحدث بشكل من الأشكال عن واعية جمعية أو عقل جمعي يخص بني البشر ويشتمل جميع معارف ومدركات الأفراد ولعل ملامح هذا العقل الجمعي قد بدأت بالظهور للعيان تكشف عنها الثورة المعلوماتية المعاصرة.

كذا نرى فعل الرياضيات –والعلم على العموم- فينا إننا نختلف بكل تأكيد عن أجدادنا. فالهندسة المستوية التي كانت قبل ألفي سنة موضوعاً صعباً وشائكاً تدرسه نخبة العلماء في ذلك الزمان هي اليوم مقرر لتلاميذ لا تتجاوز أعمارهم الخمسة عشر من السنين وقياساً على ذلك، وقياساً على تسارع التقدم العلمي والتعليمي، يمكننا أن نتصور وقتاً، غير بعيد ربما. يدرس فيه طلاب المدارس الثانوية النظرية النسبية وميكانيك الكم، مع كل الرياضيات العالية اللازمة لذلك.

 

في حياته العلمية، يستطيع العالم الرياضي، الغارق بين أشكاله ومعادلاته أن يعيش حياة أخرى، نوعاً من الحياة لا يستطيع أي إنسان تخيلها: حياة في أربعة أبعاد أو أكثر مثلاً أو حياة لااقليدية في فراغ لااقليدي وقد يتجاوز الرياضي في لحظات استغراقه في عمله، الزمان والمكان أو على الأقل يعيشهما بطريقة مختلفة. إن العلم والرياضيات بالنسبة للمشتغل فيهما، ليسا بنظرياتهما وتشكيلاتهما مجرد تمثيلات للحقيقة فالمنظومة العصبية للعالم تتجاوز تمثيل الحقيقة إلى الحقيقة نفسها إن العالِم يحيا نظرياته وتشكيلاته تماماً كما يحيا كل منا حياته الخاصة، ولكن هل نستطيع بالأحرى فصل حياة الإنسان إلى علمية وعملية؟ ألا تتأثر الثانية بالأولى بقدر أو بآخر، وإذا تساءَلنا في نظرة مستقبلية كيف يمكن تعميم هذه الفكرة بعد وقت يطول أو يقصر، عندما تصبح الرياضيات العليا اليوم شيئاً من أساسيات التعليم في المراحل الأولى؟ أفلا ينعكس ذلك على حياة الناس نفسها، على الحياة اليومية في كل أبعادها؟ نتساءل أيضاً إن كان تطوراً كالذي نتحدث عنه يمثل تفتحاً فكرياً وحسب. فإذا كان الإنسان سيتعامل على سبيل المثال مع الزمن كبعد رابع، أفلا يعني ذلك أن مفهوم الزمن قد تغير؟ أولا نكون بصورة ما قد تجاوزنا الزمن وأفلتنا من إساره؟! ألا يمكن أن نقول عندئذٍ أننا حققنا تطوراً نفسياً وروحياً؟!

سوف يجد إنسان المستقبل نفسه- وفي خضم الحياة اليومية- أمام مفاهيم ونظريات من قبيل النسبية والكم وقد بدأنا منذ الآن نسمع عن الحاسب الكوانتي كما بدأ الأميركيون والروس بناء ما يمكن أن يتحول إلى قرية فضائية خارج الأرض. سوف نحيا إذاً في عوالم لا نستطيع بالفعل التنبؤ عن ماهيتها. لكننا نجزم أنها تفوق عالمنا تقدماً بأشواط بعيدة. يشبه الفرق بين عالم الغد وعالمنا الفرق بين الأخير وبين العالم منذ بضعة آلاف من السنين، حين كانت الأحداث الطبيعية، نتاج أعمال الآلهة المختلفة وحين كان الجن والعفاريت وراء أمراضنا وكانت الأرض محمولة على ظهر سلحفاة عملاقة! وكما نسخر اليوم من مجرد فكرة أرض منبسطة (مستوية) فقد يسخر إنسان المستقبل من فكرة كون ثلاثي الأبعاد كالذي نحيا فيه اليوم. بل لقد فعل ذلك ستيفان هوكينغ أحد كبار الرياضين المعاصرين عندما قال:" بالنسبة للجميع يصعب تخيل كون بأربعة أبعاد أما من جهتي فإنني أجد صعوبة في رؤية الكون بثلاثة أبعاد".

إننا نستطيع على كل حال، تمثل الفرق بيننا وبين أسلافنا، لكننا نعجز تماماً عن التنبؤ بما يمكن أن تصبح عليه الحال بعد آلاف أو مئات أو حتى عقود من السنين. لكن بإمكان الرياضي وحده ربما استشفاف الاحتمالات المختلفة لما يمكن أن يحدث.

عودة أخرى لطرح التساؤلات: ألا يتمتع الإنسان نفسه في العمق بقدرات وملكات، بل وبطبيعة أخرى أيضاً؟ فإن كنا نستطيع فهم وتعلم أشياء عديدة عن عوالم لااقليدية على سبيل المثال، أفلا يعني ذلك أننا نمتلك طبيعة لااقليدية أيضاً؟ ونتابع التساؤل: أي نوع من العوالم هو ذاك الذي تنشط فيه أدمغتنا ونظمنا العصبية ومنظوماتنا النفسية؟

ليس ثمة شك في وجود قوانين علمية تقوم على رياضيات عالية ربما لم نستطع بلوغها حتى الآن؛ تحكم نشاط منظوماتنا النفسية والعصبية. والحال فإن معرفة هذه القوانين يعني فهماً أفضل لأنفسنا وقدرة على ترويضها وتوجيهها. أن إبداع علم نفس حقيقي، علم يستند على توصيف رياضي واضح ومتماسك يعني دخول الإنسانية عهداً جديداً من التطور النفسي وكما يقول فريد الآن في كتابه (مع القفزة الكمومية). "إنني أرى ميكانيك الكم ضرورياً في تطور البشر وعلم النفس" فإنني أقول معه مروراً "إني أرى الرياضيات لا ضرورية فحسب بل ركناً أساسياً في تطور البشر وعلم النفس".

 

نخلص إلى استنتاج نعتبره إجابة على السؤال الأساسي "لماذا الرياضيات" وهو أن الرياضيات تسهم في سيرورة تطورنا الخاص بطريقتين: بشكل مباشر أولاً: إذ تعني دراستها وممارستها تفتحاً للذهن وشحذاً للخيال وإيقاظاً للحدس وعن طريق العلم البحت ثانياً الذي تقع الرياضيات في قلبه والذي يحمل رسالة لا السيطرة على الطبيعة واستغلالها من أجل تحقيق رفاهية مزعومة لبني البشر بل قيادة الإنسان نحو فهم موقعه ودوره في الطبيعة والاضطلاع بهما. رسالة تحقيق القصد من الوجود الذي سميناه معرفة الحقيقة.

 

إن العلم بناء متعدد المظاهر كما يقول آينشتاين. لكنه في الجوهر بناء واحد لا يتغير. إنه رياضيات في أثواب مختلفة. إن الرياضيات تنمو بإطراد وتحتاج في كل عام عند قدوم العيد إلى ثوب جديد أكثر جمالاً وأوسع قياساً. فتغير ثوبها. ونرى نحن الثوب الجديد دون أن نلحظ ما وراءه إن كل نظرية جديدة، في مختلف فروع العلم، إنما تقوم على رياضيات جديدة في قلب تصميمها.

يبدو الأمر في العلم كما لو أننا نراوح مكاننا. إننا نكتشف أو نضع نظرية علمية لا نستطيع أبداً أن نثبت صحتها بشكل نهائي ومطلق لكننا نقبل بها بقدر ما تفسر لنا من الظواهر الطبيعية وعندما نكتشف ظواهر جديدة تعجز نظرياتنا القديمة عن شرحها نصبح بحاجة إلى نظرية جديدة أكثر شمولاً ويتكرر الأمر مع النظرية الجديدة أيضاً فكأننا ندور في حلقة مفرغة لكن مثل هذه الصورة للواقع، ناقصة بعض الشيء. إننا ندور بالفعل في دائرة واحدة لكن المستوي الذي تقع فيه هذه الدائرة ليس مستوياً ثابتاً بأي حال. إنه مستوٍ مترفع باستمرار وبذلك يصبح مسار العلم لا دورياً ضمن دائرة بل حلزونياً في الفراغ الثلاثي. وإذا كنا لا نشعر بحركة هذا المستوي الذي يتطور فيه العلم فلسبب واحد هو أننا جزء منه نعيش فيه ونترفع بترفعه. يشبه الأمر تماماً لعبتنا مع الأرض، بيتنا الكوني إننا لا نستطيع أبداً الإحساس بأننا نبحر في الكون الرحب حول الشمس وحول المجرة ذلك أننا جزء من الأرض ومن حركتها. ربما استطعنا أن نعي ذهنياً فحسب حركة الأرض في الكون لكننا لا نستطيع أبداً أن نشعر بهذه الحركة. ومع ذلك تتابع الأرض حركتها أو كما قال غاليليو "ومع ذلك فهي تدور" ينطبق الأمر نفسه على العلم أيضاً. الذي يتابع طريقه متسامياً نحو الأعلى باستمرار أما نحن فمقودين به في سيرورة تفتح لا تنتهي.

 

هكذا يقودنا العلم في رحلة نحو الأبدية. أما الرياضيات فهي-كما أشرنا تقوم من العلم مقام العمود الفقاري من الجسم ولا نستطيع أبداً وصف نظرية ما بالعلمية إن لم تستند بالأحرى على بناء رياضي سليم. نستطيع الذهاب أبعد من ذلك أيضاً. فقد يكون بالإمكان المضي قدماً في رحلتنا العتيدة في قطار الرياضيات المجردة وحدها ذلك ما يراه آينشتاين حين يكتب: "إنني مقتنع أن البناء الرياضي وحده يتيح لنا أن نجد المفاهيم وأن نستنبط المبادىء التي ترتبط فيما بينها، وبذلك تسنح لنا الفرصة لفهم ظواهر الطبيعة. فالمفاهيم الرياضية القابلة للاستعمال يمكن أن تُستوحى من التجربة، لكنها لا تستنتج منها بحال من الأحوال. وعلى هذا الأساس وبمعنى ما، أرى أن من الحق والممكن للفكر البحت أن يستوعب الحقيقة".

أخيراً وبعد كل ذلك وقبله. وإذا لم يكن كل ما قلناه كافياً ومقنعاً لإيضاح دور الرياضيات وإبراز أهميتها فإن ما هو كاف بالنسبة للرياضي هو أن الرياضيات فن رفيع. وحسب ذلك سبباً للإبحار في محيطها إنها فن بكل المعنى الذي تتضمنه الكلمة وبكل ما في الفنون العظمى من جمال وشفافية ورؤيا حتى قال أحد الرياضيين: "إن الذي لم يختبر فرح معرفة الأسرار التي تربط الرموز المختلفة وتشيد البنى المعقدة وتحل المعادلات المستحيلة سواء كان لكل ذلك معنىً أم لم يكن، لا يمكنه أن يعي الجمال المجرد ولا أن يعرف عظمة الطبيعة ولا أن يرى سطوع الحقيقة تلك الحقيقة الوحيدة. الأزلية غير القابلة للتفسير أو للتعبير عنها".

 

الصفحة الرئيسية

 

 

الصفحة الرئيسية اتصل بنا من نحن أحوال الطقس الخارطة الفلكية المنتدى المحاضرات

برنامج المحاضرات

               
   

Copyright © 2006 • All Rights Reserved • Syrian Cosmological Society •